A. Un exemple. Le syllogisme.
"Tous les hommes sont mortelsOr Socrate est un homme
Donc Socrate est mortel"
La première théorie du syllogisme a été proposé par ARISTOTE (384 - 322) :
"Le syllogisme est un discours dans lequel, certaines choses étant posées, quelque chose d'autre que ces données en résulte nécessairement par le seul fait de ces données"
ARISTOTE. Premiers analytiques. I, 1, 24 b1 .
Rm. Un enthymème est un syllogisme dans lequel la mineure et la conclusion sont sous - entendues.
Exemple : "Toutes les bonnes ménagères ont ce produit". Est sous - entendu : "Or vous êtes une bonne ménagère, donc ...".
1. Le raisonnement est composé de plusieurs jugements.
"Tous les hommes sont mortels" ; "Socrate est un homme", "Socrate est mortel".
- 1. Ce qu'est un jugement. En logique : "(...) le jugement consiste à poser une relation entre deux ou plusieurs termes"2 .
A. Cette relation est posée par la copule. Dans la logique classique, la copule exprime un rapport d'inhérence.
Exemple : "Socrate est un homme", "Socrate" est élément de l'ensemble : "Hommes".
B. Les jugements peuvent être classés selon la quantité, selon la qualité, la relation, la modalité.
1. Selon la quantité, un jugement sera universel, particulier, ou singulier.
Exemples : "Tous les hommes sont mortels" est un jugement universel, "Quelques hommes sont mortels" est un jugement particulier, "Socrate est mortel", est un jugement singulier.
2. Selon la qualité, un jugement sera affirmatif, négatif, ou indéfini.
Exemples : "Socrate est athénien" est un jugement affirmatif, "Socrate n'est pas Perse" est un jugement négatif, "Socrate est non Barbare" est un jugement indéfini.
3. Selon la relation, un jugement sera catégorique, hypothétique, ou disjonctif.
Exemples : "Socrate est un homme" est un jugement catégorique, "Si le baromètre baisse, il pleuvra" est un jugement hypothétique, "Le temps demain sera ou beau ou pluvieux" est un jugement disjonctif.
4. Selon la modalité, un jugement sera problématique, assertorique, ou apodictique.
Exemples : "Il se peut qu'il pleuve demain" est un jugement problématique, "Socrate est mortel" est un jugement assertorique, "La somme des angles d'un triangle est égale à deux droits" est un jugement apodictique3 .
Rm. La logique classique ne connaît que quatre sortes de jugement : les jugements universels affirmatifs (jugements en A), les jugements universels négatifs (jugements en E), les jugements particuliers affirmatifs (jugements en I), les jugements particuliers négatifs (jugements en O).
Exemples : "Tous les hommes sont mortels" est un jugement universel affirmatif (jugement en A) ; "Nul homme n'est herbivore" est un jugement universel négatif (jugement en E) ; "Quelques hommes sont chauves" est un jugement particulier affirmatif (jugement en I) ; "Quelques hommes ne sont pas blancs" est un jugement particulier négatif (jugement en O).
- 2. Ce qu'est un terme. En logique, le terme est un mot qui n'exprime pas un rapport mais une réalité mentale. Les termes sont des réalités mentales entre lesquelles sera établies un rapport.
A. Définition. :
"J'appelle terme ce en quoi se résout la prémisse, savoir le prédicat et le sujet dont il est affirmé (...)".
ARISTOTE. Premiers analytiques. I, 1, 24 b, 154 .
Exemple : "Homme", "Socrate", "mortel" sont des termes.
B. Le terme général exprime un concept. Un concept est une représentation générale abstraite.
1. Une représentation : la chose réelle est présente une seconde fois mais dans l'esprit, dans la pensée.
2. Une représentation abstraite. La représentation contient un certain nombre de caractères extraits (ou : abstraits) d'une représentation corrélativement plus concrète.
Exemple : pour le concept d'"homme", ces caractères sont : "être vivant, bipède sans plumes, doué de raison et de parole".
3. Une représentation générale abstraite. Les caractères contenus dans la représentation sont communs aux individus appartenant à la même classe ou au même genre.
Exemple : pour le concept d'"homme", les caractères cités : "être vivant, bipède sans plumes, doué de raison et de parole" sont communs à tous les hommes.
Rm. Le concept a deux propriétés : la compréhension, c'est-à-dire : l'ensemble des caractères qu'il contient, et l'extension, c'est-à-dire : l'ensemble des individus qui ont ces caractères.
La compréhension et l'extension varient en sens contraire : plus un concept a de compréhension, moins il a d'extension ; plus un concept a d'extension , moins il a de compréhension.
2. Le raisonnement est composé de plusieurs jugements reliés les uns aux autres.
Dans le syllogisme, ce sont les termes de liaison : "Or", "Donc".
- 1. Un raisonnement n'est pas une suite désordonnée de jugements. Il y a un ordre.
A. Cet ordre n'est pas une simple juxtaposition : l'un ne vient pas seulement et exclusivement après l'autre.B. Cet ordre exprime une relation. Rompre cette relation c'est rompre le raisonnement.
"Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir, pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m'avaient donné occasion de m'imaginer que toutes les choses, qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes, s'entresuivent en même façon (...)"
R. DESCARTES. Discours de la méthode. Seconde partie5 .
Commentaire :
1. Le raisonnement est comparé à une chaîne : cela souligne la continuité et la solidarité des parties du raisonnement.
2. La géométrie est l'art du raisonnement ; elle sert de modèle à toute science qui entend raisonner.
- 2. Les formes de cette relation. La relation entre les jugements d'un même raisonnement est de plusieurs sortes : la conjonction ; la disjonction ; l'implication ; l'équivalence.
- 3. Le raisonnement est un mouvement de la pensée. La méthode est, étymologiquement, le chemin.
"Ce que j'entends maintenant par méthode, ce sont des règles certaines et faciles, par l'observation exacte desquelles on sera sûr de ne jamais prendre une erreur pour une vérité, et, sans y dépenser inutilement les forces de son esprit, mais en accroissant son savoir par un progrès continu, de parvenir à la connaissance vraie de tout ce dont on sera capable"
R. DESCARTES. Règles pour la direction de l'esprit. Règle IV6 .
Commentaire :
1. La méthode est un ensemble de règles simples et faciles : chacun pourra raisonner.
2. La méthode sert à éviter les erreurs.
3. La méthode permet d'utiliser au mieux les ressources de son esprit : les efforts inutiles seront évités.
4. Malgré cela, certains faits restent en dehors de notre capacité de compréhension.
3. Le raisonnement a une conclusion.
- 1. Le raisonnement a une intention. On veut démontrer quelque chose. Le raisonnement a ainsi une intention, une direction et un terme.
- 2. Le raisonnement va des prémisses à une conclusion. "Socrate est mortel". Cette conclusion peut à son tour servir de prémisse à un futur raisonnement.
- 3. Le raisonnement est discursif. La pensée progresse ; le savoir augmente.
Bilan. Le raisonnement est un mouvement de la pensée qui accroît sa connaissance, - cela grâce à une relation entre des jugements qui sont eux - mêmes des relations entre des termes.
B. Son analyse. Pourquoi raisonnons - nous ?
1. La valeur heuristique du raisonnement.
Le raisonnement permet de chercher une vérité absolument inconnue ou une vérité inconnue sous ce jour.
- 1. Le raisonnement est fécond. Il permet de trouver une vérité nouvelle. Ainsi, l'induction.
A. L'induction est un raisonnement qui va du singulier au général.
Exemple : ARISTOTE donne l'exemple des sans - fiel (Premiers Analytiques. II, 23) :
L'homme, le cheval et le mulet vivent longtemps
Tous les animaux sans fiel sont l'homme, le cheval et le mulet
Tous les animaux sans fiel vivent longtemps.
B. L'induction est un raisonnement qui va de la connaissance des faits à la connaissance des lois.
Exemple : La première loi de J. KEPLER (1571 - 1630) : "Les planètes décrivent des ellipses dont le soleil occupe un des foyers". KEPLER aurait trouvé par induction cette loi après avoir essayé 19 courbes. Il était improbable que les points qui marquent les positions de la planète aient l'air d'appartenir à une ellipse, tout en appartenant réellement à une autre courbe7 .
- 2. Le raisonnement est certain. Il conduit la vérité des prémisses à la conclusion. Le raisonnement va du vrai au vrai.
Exemple : la déduction.
Définition : "(...) nous entendons par là tout ce qui conclut nécessairement de certaines autres chose connues avec certitude"
R. DESCARTES. Règles pour la direction de l'esprit. Règle III8 .
- 3. Le raisonnement implique que nous ne sommes pas immédiatement en possession de la connaissance recherchée. Pour être immédiatement en possession de la connaissance recherchée, il faut disposer de l'intuition.
"Par intuition j'entends non point le témoignage instable des sens, ni le jugement trompeur de l'imagination qui opère des compositions sans valeur, mais une représentation qui est le fait de l'intelligence pure et attentive, représentation si facile qu'il ne subsiste aucun doute sur ce que l'on y comprend ; ou bien, ce qui revient au même, une représentation inaccessible au doute, représentation qui est le fait de l'intelligence pure et attentive, qui naît de la seule lumière de la raison, et qui, parce qu'elle est plus simple, est plus certaine encore que la déduction (...)"
R. DESCARTES. Règles pour la direction de l'esprit. Règle III9 .
Commentaire :
1. DESCARTES commence par éliminer ce que l'intuition n'est pas : "le témoignage instable des sens, ni le jugement trompeur de l'imagination qui opère des compositions sans valeur".
2. L'intuition doit répondre à des conditions : une "intelligence pure et attentive". Elle : "est le fait de l'intelligence pure et attentive, qui naît de la seule lumière de la raison".
3. La connaissance donnée par l'intuition présente plusieurs caractères : "représentation si facile qu'il ne subsiste aucun doute sur ce que l'on y comprend". Elle est à la fois simple et indubitable. Elle est la connaissance la plus certaine ; elle : "est plus certaine encore que la déduction".
Rm. Si nous ne sommes pas immédiatement dans la vérité, nous en avons cependant une idée, faute de quoi nous ne saurions pas où la chercher :
"Instinct. Raison. - Nous avons une impuissance de prouver, invincible à tout le dogmatisme. Nous avons une idée de la vérité, invincible à tout le pyrrhonisme"
B. PASCAL, (1623 - 1662). Pensées. B 39510 .
2. La valeur didactique du raisonnement.
Le raisonnement permet d'exposer la vérité connue.
- 1. Le raisonnement permet de convaincre autrui. Ainsi la démonstration a une valeur pédagogique.
Rm. Convaincre n'est persuader.
- 2. Le raisonnement a une valeur pédagogique. Enseigner ce n'est pas transmettre des états subjectifs, des états d'âme.
- 3. Le raisonnement est ce qui permet de passer de l'état subjectif de certitude à la conviction.
Rm. L'opinion, la foi, la science sont à distinguer:
"L'opinion est une croyance qui a conscience d'être insuffisante aussi bien subjectivement qu'objectivement. Si la croyance n'est que subjectivement suffisante et si elle est en même temps tenue pour objectivement insuffisante, elle s'appelle foi. Enfin, la croyance suffisante aussi bien subjectivement qu'objectivement s'appelle science. La suffisance subjective s'appelle conviction (pour moi - même) et la suffisance objective, certitude (pour tout le monde)".
E. KANT (1704 - 1824). Critique de la raison pure11 .
3. La valeur de vérification du raisonnement.
Le raisonnement permet de contrôler la valeur de vérité de ce qui est affirmé.
- 1. Le raisonnement permet de corriger. Raisonner permet de corriger les sophismes et les paralogismes.
A. Définitions.
1. "Un sophisme est un argument apparemment conforme à la logique, mais qui aboutit à une conclusion inacceptable soit par absurdité, soit par un emploi volontairement faussé des règles de la déduction"12 .
Exemple : "Tu as tout ce que tu n'as pas perdu ; or tu n'as pas perdu de cornes ; donc tu as des cornes.
2. Un paralogisme est un : "Raisonnement faux, énoncé sans volonté de tromper"13 .
B. Raisonner permet met de corriger les sophismes et les paralogismes.
Exemple : "Tu as tout ce que tu n'as pas perdu". Il suffit de raisonner pour supprimer le sophisme : ce que j'ai ne se réduit pas à ce que je n'ai pas perdu. Ainsi mon corps est à moi quoique je ne l'ai pas perdu et quoique je ne puisse pas le perdre.
- 2. Les principes et les règles du raisonnement. Le raisonnement pour être valide doit suivre certains principes :
A. Le principe d'identité : a est a.B. Le principe de contradiction : a n'est pas non a.
"Le principe de contradiction signifie que : deux contradictoires ne peuvent être vraies ensemble. Autrement dit, si l'on affirme une proposition, on ne peut, en même temps, la nier"14 .
C. Le principe du tiers exclu : "Il n'y a pas de milieu (ou de troisième ou tiers) entre a et non a' . Deux contradictoires ne peuvent être fausses ensemble"15 .
- 3. La formalisation : "La formalisation désigne en épistémologie la construction d'un système (notamment mathématique ou logique) uniquement constitué de structures formelles, et donc débarrassé de tout contenu empirique ou intuitif, de telle sorte que la connaissance s'y déduit uniquement des axiomes initiaux par application rigoureuse des lois logiques"16.
A. Exemple :
"Tous les hommes sont mortels ; Or Socrate est un homme ; Donc Socrate est mortel",
En substituant aux termes des constantes, on aura : "Tout M est P ; Or S est M ; Donc S est P".
B. Les avantages de la formalisation.
1. La formalisation élimine ce qui semble intuitivement vrai et qui cependant peut être faux.
Exemple : "Si toute âme sage est bonne, celle qui n'est pas sage est mauvaise" est un raisonnement qui semble vrai et qui cependant est faux comme le montre la formalisation :
"(S ð P) ð (- S ð - P)" alors qu'il faudrait écrire : "(S ð P) ð (- P ð - S)", ou : "Si toute âme sage est bonne, celle qui n'est pas bonne n'est pas sage".
2. La formalisation permet d'étendre à un grand nombre de raisonnements possibles la même structure logique.
C. Les conséquences.
1. Comment le raisonnement peut - il être à la fois fécond et certain ?
- 1. Le problème. Les raisonnements mathématiques sont à la fois certains et féconds. Comment cela est - il possible ?
- 2. La réponse de G. LEIBNIZ. Selon G. W. LEIBNIZ (1646 - 1716), les raisonnements sont faits de jugements analytiques.
A. Vocabulaire et définitions.
1. Définitions. Analytique / synthétique :
"Ou le prédicat B appartient au sujet A comme quelque chose qui est contenu (implicitement) dans ce concept A, ou B est entièrement en dehors du concept A, quoi qu'il soit à la vérité, en connexion avec lui. Dans le premier cas, je nomme le jugement analytique, dans l'autre synthétique"
E. KANT. Critique de la raison pure. Introduction, IV17 .
Exemple : "Le chat est un félin" est un jugement analytique ; "Le chat est agile" est un jugement synthétique .
2. Définitions. A priori / A posteriori :
"(...) par connaissances a priori nous entendrons désormais (...) celles qui sont absolument indépendantes de toute expérience. A ces connaissances a priori sont opposées les connaissances empiriques ou celles qui ne sont possibles qu'a posteriori, c'est-à-dire par l'expérience"
E. KANT. Critique de la raison pure. Introduction, I18 .
Exemple : "Les corps sont étendus" est un jugement a priori ; "Les corps sont pesants" est un jugement a posteriori.
B. LEIBNIZ démontre que 2+2 est un raisonnement liant des jugements analytiques19 .
- a. On définit : "1" ; "x + 1".
- b. On définit : DF1 : 2 = 1+1 ; DF2 : 3 = 2+1 ; DF3 : 4 = 3+1 ; DF4 : x+2 = (x+1) +1.
- c. On démontre :
DF4 : x+2 = (x+1) +1. Si x = 2, (2+2) = (2+1) +1 alors (2+1) +1 = 3+1 (par la DF2 : 3 = 2+1) ; or 3+1 = 4 (par la DF3 : 4 = 3+1), donc 2+2 = 4.
- 3. La réponse de E. KANT. Le raisonnement mathématique est fait de jugements synthétiques a priori.
"Le concept douze n'est aucunement pensé par cela seul que je pense simplement cette réunion de sept et de cinq : j'aurai beau analyser autant que je voudrai, le concept que j'ai d'une pareille somme possible, je ne rencontrerai cependant pas le chiffre douze"
E. KANT. Prolégomènes à toute métaphysique future20 .
Savoir quelle opération est à faire ne donne pas le résultat de cette opération. Il faut recourir à une intuition qui si elle n'est pas sensible (comme l'enfant qui compte sur ses doigts) est a priori.
"(...) la proposition arithmétique est toujours synthétique (...)".
E. KANT. Prolégomènes à toute métaphysique future21 .
La conséquence la plus immédiate est que les mathématiques ne se réduisent pas à la logique.
2. Comment le raisonnement peut -il être rigoureux ?
- 1. La notion d'axiomatique. L'axiomatisation est un procédé d'exposition d'une théorie déductive qui consiste à placer en tête :
A. La définition des termes premiers à l'aide desquels seront formées les propositions premières qui resteront de ce fait non démontrées. On appelle axiomes ces propositions non démontrées dans le système.B. Les règles de formation des propositions de la théorie.
C. Les règles opératoires qui permettront de dériver les propositions démontrées de la théorie. On appelle théorèmes les propositions démontrées dans un système.
Rm. Les axiomes doivent être indépendants, consistants et saturés. Consistants, deux théorèmes contradictoires ne doivent pas pouvoir être démontrés dans une axiomatique. Indépendants, nul axiome ne doit être déduits ni être déductibles d'un autre axiome. Le système doit être saturé : tout autre axiome s'il était ajouté au système le rendrait inconsistant.
- 2. Un exemple. Les Eléments d'EUCLIDE (IIIème siècle avant J. C.) propose le premier exemple d'une axiomatique non formalisée22 .
A. Les définitions : "Le point est ce qui n'a pas de parties" ; "La ligne est une longueur sans largeur".B. Les postulats (postulare : demander23 ). Ils sont au nombre de cinq : I. Mener une ligne droite entre deux points ; II. Prolonger indéfiniment une droite limitée ; III. Décrire un cercle de centre donné et de rayon donné ; IV. Tous les angles droits sont égaux entre eux. Et le fameux cinquième postulat.
C. Les axiomes. Ils sont au nombre de huit : I. Les choses égales à une même chose sont égales entre elles ; V. Les doubles des choses égales sont égaux ; VI. Les moitiés des choses égales sont égales ; VIII. Le tout est plus grand que la partie.
- 3. Les géométries non euclidiennes. LOBATCHEVSKI (1793 - 1856) cherche à démontrer que le cinquième postulat d'EUCLIDE est démontrable et qu'il est en réalité un théorème.
A. LOBATCHEVSKI entreprend une démonstration par l'absurde : il le nie et il admet les autres axiomes d'EUCLIDE.B. Il admet que par un point extérieur à une droite, il est possible de mener plusieurs parallèles.
C. Aucune contradiction ne s'ensuit : c'est la première géométrie dite non euclidienne.
Rm. RIEMANN supposera que par un point extérieur à une droite il est possible de mener zéro parallèle.
3. Le raisonnement peut - il tout démontrer ?
- 1. Le problème des premiers principes. La science se distingue par sa capacité à démontrer :
"(...) la science est une disposition capable de démontrer (...)"ARISTOTE. Ethique à Nicomaque. Livre VI, chapitre 324 .
Or les premiers principes ne se démontrent pas.
- 2. Les solutions.
A. La connaissance par induction des premiers principes. Pour les premiers principes des sciences de la nature, les observations répétées de faits singuliers permettraient de dégager l'universel.
Exemple : l'observation de chaque espèce d'oiseaux permettrait de poser par induction comme premier principe que l'oiseau est un animal qui pond.
B. La connaissance par le coeur. Les premiers principes de l'arithmétique et de la géométrie se connaîtraient par l'intuition.
"Nous connaissons la vérité, non seulement par la raison, mais encore par le coeur ; c'est de cette dernière sorte que nous connaissons les premiers principes (...)"
B. PASCAL. Pensées. B 28225 .
Exemple :
"Le coeur sent qu'il y a trois dimensions dans l'espace et que les nombres sont infinis et que les nombres sont infinis ; et la raison démontre ensuite qu'il n'y a point deux nombres carrés dont dont l'un soit double de l'autre"
B. PASCAL. Pensées. B 28226 .
C. La connaissance par la réfutation. Le principe de non contradiction ne se démontre pas, mais on peut réfuter tout ceux qui soutiennent sa fausseté.
"Il est cependant possible d'établir par réfutation l'impossibilité que la même chose soit et ne soit pas, pourvu que l'adversaire dise seulement quelque chose"
ARISTOTE. Métaphysique. G, 427 .
Rm. ARISTOTE nomme métaphysique la science qui permet de démontrer les premiers principes des autres sciences.
"Il y a une science qui étudie l'Etre en tant qu'être et les attributs qui lui appartiennent essentiellement",
ARISTOTE. Métaphysique. G, 128 .
Conclusion. La science peut - elle se passer de la métaphysique ?
"Ainsi toute la philosophie est comme un arbre, dont les racines sont la métaphysique, le tronc est la physique, et les branches qui sortent de ce tronc,sont toutes les autres sciences, qui se réduisent à trois principales, à savoir la médecine, la mécanique et la morale ; j'entends la plus haute et la plus parfaite morale, qui présupposant une entière connaissance des autres sciences, est le dernier degré de la sagesse"
R. DESCARTES. Principes de la philosophie. Lettre - Préface de l'édition française des Principes29 .