La démonstration.

Ce que la démonstration peut nous apprendre sur la logique, la vérité.

 

 

A. Un exemple. La duplication de la surface du carré (Platon. Ménon. 82 b - 85 b).

 

"SOCRATE. Mais n'y a t - il pas là cette ligne, qui, d'un coin à l'autre coin, coupe en deux chacun de ces espaces ?

LE SERVITEUR. Oui.

SOCRATE. Ne voilà - t - il donc pas quatre lignes égales circonscrivant l'espace que voici ?

LE SERVITEUR. Les voilà.

SOCRATE. Observe maintenant : quelle est la grandeur de cet espace ?

LE SERVITEUR. Je ne me rends pas compte !

SOCRATE. Etant donné ces quatre espaces, est - ce que chacune de ces lignes n'a pas retranché une moitié à l'intérieur de chacun d'eux ? Oui, n'est - ce pas ?

LE SERVITEUR. Oui.

SOCRATE. Or, l'espace circonscrit, combien contient - il de telles moitiés ?

LE SERVITEUR. Quatre.

SOCRATE. Et combien, l'espace que voici ?

LE SERVITEUR. Deux.

SOCRATE. Or, qu'est - ce quatre par rapport à deux ?

LE SERVITEUR. C'est le double.

SOCRATE. Alors, de combien de pieds est cet espace - ci ?

LE SERVITEUR. Il est de huit pieds.

SOCRATE. En partant de quelle ligne se construit - il ?

LE SERVITEUR. En partant de celle - ci.

SOCRATE. N'est - ce pas à partir de celle qui va d'un coin à l'autre du carré ?

LE SERVITEUR. Oui.

SOCRATE. Cette ligne, les savants l'appellent "diagonale", alors, serviteur de Ménon, ce serait en partant de la diagonale que se construit l'espace double.

LE SERVITEUR. Hé oui ! absolument, Socrate"

PLATON. Ménon. 84 e - 85 b1 .

 

1. Démontrer, c'est aboutir.

 

- 1. Le début n'est pas l'ignorance mais la croyance. Le jeune esclave de MENON croit savoir la réponse à la question posée alors qu'il ne dispose d'aucun indice lui permettant de savoir ce que vaut cette connaissance.

A. Le propre de la croyance est de croire qu'elle est vraie

B. La croyance ne laisse jamais place au doute. Croire, ce n'est jamais savoir que l'on croit.

 

- 2. Le sommeil dogmatique. La croyance empêche l'enquête et le progrès. Il faut commencer par le doute. Ainsi KANT :

"(...) ce fut l'avertissement de David Hume qui interrompit d'abord, voilà bien des années, mon sommeil dogmatique et qui donna à mes recherches en philosophie spéculative une tout autre direction"

KANT. Prolégomènes à toute métaphysique future. Introduction2 .

 

- 3. La découverte de l'ignorance. La connaissance ne peut commencer qu'avec la conscience de son ignorance. C'est le rôle de la torpille socratique : "Je ne me rends pas compte !".

 

2. Démontrer, montrer.

 

- 1. L'imagination. Raisonner ne suffit pas : il s'agit de représenter sur le sable les figures : "Observe maintenant". Seul l'entendement peut trouver la réponse ; il ne la trouve pas seul : il lui faut l'aide de l'imagination.

Rm. Pourquoi et en quoi voir permet - il de mieux suivre la démonstration ? Qu'apporte l'image que le concept ne suffit pas à apporter ?

 

- 2. Montrer ne suffit pas. Le tracé des lignes sur le sable ne saurait suffire pour démontrer.

A. Les lignes ne sont jamais que des représentations de figures qui, elles, ne peuvent pas être tracées.

B. Les lignes ne sont que des exemples, des aides pour la compréhension.

 

- 3. Le vocabulaire. Il est nécessaire mais il apparaît après la démonstration : savoir les noms ne suffit pas à savoir ("Cette ligne, les savants l'appellent "diagonale"").

 

3. Démontrer, construire.

"Etant donné ces quatre espaces, est - ce que chacune de ces lignes n'a pas retranché une moitié à l'intérieur de chacun d'eux ? Oui, n'est - ce pas ?

LE SERVITEUR. Oui.

SOCRATE. Or, l'espace circonscrit, combien contient - il de telles moitiés ?

LE SERVITEUR. Quatre.

SOCRATE. Et combien, l'espace que voici ?

LE SERVITEUR. Deux.

SOCRATE. Or, qu'est - ce quatre par rapport à deux ?

LE SERVITEUR. C'est le double.

SOCRATE. Alors, de combien de pieds est cet espace - ci ?

LE SERVITEUR. Il est de huit pieds."

 

- 1. Construire. Les lignes ne sont pas disposés au hasard :

A. Elles partent de figures déjà existantes : "Mais n'y a t - il pas là cette ligne, qui, d'un coin à l'autre coin, coupe en deux chacun de ces espaces ? (...) Ne voilà - t - il donc pas quatre lignes égales circonscrivant l'espace que voici ?", "En partant de quelle ligne se construit - il ?", "N'est - ce pas à partir de celle qui va d'un coin à l'autre du carré ?" ; et elles convergent vers un objectif : "ce serait en partant de la diagonale que se construit l'espace double.".

B. La réponse est déjà présente : elles est dans l'esprit avant que d'être sur le sable. En l'absence de réponse conçue, il serait inutile de tracer des lignes.

 

- 2. Construction et progression. Le tracé des lignes sur le sable a pour but de faire comprendre que :

A. la réponse passe par des étapes : nul n'a tout de suite la réponse. La réponse demande de la patience.

B. les étapes sont dépendantes les unes des autres selon des rapports de nécessité. La réponse demande de la constance.

 

- 3. Le partage de la nécessité. Comprendre, ce n'est pas seulement suivre les étapes de la démonstration.

A. C'est aussi partager à chaque étape les raisons de la démonstration.

B. Comprendre, c'est avoir intérioriser la nécessité de la démonstration : "Hé oui ! absolument, Socrate".

 


 

B. Son analyse.

 

Démontrer, c'est parvenir au vrai ; c'est établir le vrai ; c'est montrer la nécessité.

 

1. Démontrer, c'est parvenir au vrai.

 

- 1. Le vrai n'est pas donné. Le vrai n'est pas donné tout de suite. La connaissance n'est pas immédiate.

A. La démonstration s'oppose alors à l'intuition.

"Par intuition j'entend, non pas le témoignage changeant des sens ou le jugement trompeur d'une imagination qui compose mal son objet, mais la conception d'un esprit pur et attentif, conception si facile et si distincte qu'aucun doute ne reste sur ce que nous comprenons ; ou, ce qui est la même chose, la conception ferme d'un esprit pur et attentif, qui naît de la seule lumière de la raison et qui, étant plus simple, est par suite plus sûre que la déduction même (...)"

R. DESCARTES. Règles pour la direction de l'esprit. Règle III3 .

 

Commentaire :

1. DESCARTES commence par éliminer ce que l'intuition n'est pas : "le témoignage changeant des sens ou le jugement trompeur d'une imagination qui compose mal son objet".

a. Les sens sont incertains : "changeant [s]".

b. L'imagination : "compose mal son objet". L'imagination est une faculté qui ne se rapporte pas immédiatement à son objet : elle agit sur des notions ; elle les compose.

2. L'intuition doit répondre à des conditions : une "conception d'un esprit pur et attentif". Elle est la : "conception ferme d'un esprit pur et attentif, qui naît de la seule lumière de la raison".

3. La connaissance donnée par l'intuition présente plusieurs caractères : "conception si facile et si distincte qu'aucun doute ne reste sur ce que nous comprenons".

a. Elle est à la fois simple et indubitable.

b. Elle est la connaissance la plus certaine. Elle : "est par suite plus sûre que la déduction même".

 

B. Pour démontrer, il nous est nécessaire d'avoir une idée de la vérité. Si nous ne sommes pas immédiatement dans la vérité, nous en avons cependant une idée, faute de quoi nous ne saurions pas où la chercher :

"Instinct. Raison. - Nous avons une impuissance de prouver, invincible à tout le dogmatisme. Nous avons une idée de la vérité, invincible à tout le pyrrhonisme"

B. PASCAL, (1623 - 1662). Pensées. B 3954 .

 

- 2. La connaissance par démonstration suppose une médiation.

A. Démontrer, c'est passer par des étapes intermédiaires.

B. La conclusion d'une démonstration ne dépend pas immédiatement des prémisses, ou du point de départ.

C. La démonstration est une suite de propositions qui se tiennent les unes les autres.

"Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m'avaient donné occasion de l'imaginer que toutes les choses qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes s'entresuivent en même façon, et que, pourvu seulement qu'on s'abstienne d'en recevoir aucune pour vraie qui ne le soit, et qu'on garde toujours l'ordre qu'il faut pour les déduire les unes des autres, il n'y en peut avoir de si éloignées auxquelles enfin on ne parvienne, ni de si cachées qu'on ne découvre"

R. DESCARTES. Discours de la méthode. III5 .

Commentaire :

1. La géométrie est la science qui sert de modèle aux autres disciplines.

2. Les "longues chaînes de raisons" des géomètres montrent que :

a. les raisonnements sont des chaînes : chaque maillon tient à celui qui précède comme à celui qui le suit ;

b. le raisonnement est progressif ;

3. la valeur de la conclusion est suspendue à l'assurance de la continuité des maillons. D'où les deux conditions :

a. S'assurer de la vérité de chaque étape : "pourvu seulement qu'on s'abstienne d'en recevoir aucune pour vraie qui ne le soit" ;

b. Conserver l'ordre de la déduction : "et qu'on garde toujours l'ordre qu'il faut pour les déduire les unes des autres".

4. "toutes les choses qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes s'entresuivent en même façon" : toutes les démonstrations peuvent être faites sur le modèle des démonstrations des géomètres.

5. Toutes les connaissances sont de cette façon accessibles à l'homme : "il n'y en peut avoir de si éloignées auxquelles enfin on ne parvienne, ni de si cachées qu'on ne découvre". Il n'y a pas de mystères pour l'homme.

 

- 3. Une démonstration : la déduction. La déduction est une forme de démonstration, la première que définit DESCARTES :

"(...) opération par laquelle nous entendons tout ce qui conclut nécessairement d'autres choses connues avec certitude"

R. DESCARTES. Règles pour la direction de l'esprit. Règle III6 .

Commentaire :

1. Il s'agit d'une opération. Le sujet de la déduction doit être actif.

2. La déduction est une progression de la pensée : "ce qui conclut".

3. Elle présente les caractères de la nécessité : "tout ce qui conclut nécessairement".

4. Elle part de principes : "d'autres choses connues avec certitude".

 

Conclusion : la démonstration exige une activité constructrice du sujet.

 

2. Démontrer, c'est établir le vrai.

 

- 1. La construction. La démonstration exige un effort de construction.

A. Elle ne se fait pas toute seule. Cela est particulièrement vrai des démonstrations par l'absurde.

B. Comprendre une démonstration, c'est être en mesure d'en refaire les étapes.

 

- 2. La preuve. Démontrer, c'est donner la preuve. La preuve est ce qui conduit de façon indubitable à admettre la vérité d'une proposition.

 

- 3. La démonstration et l'impression. La démonstration témoigne d'une méfiance envers les impressions de vérité. Ce qui semble vrai n'est pas vrai pour cela.

La démonstration témoigne en revanche d'une confiance à l'égard du pouvoir de l'esprit.

 

3. Démontrer, c'est montrer la nécessité.

 

- 1. Démontrer et montrer. Démontrer est le contraire de montrer.

A. Montrer, c'est se contenter du fait : voilà comment les choses se passent ; voilà comment elles se font.

B. Montrer, n'établit qu'un constat : aucune nécessité ne s'ensuit.

C. Le géomètre ne raisonne pas sur des figures tracées, mais à l'aide des ces figures :

"D'où il paraît que les vérités nécessaires, telles qu'on les trouve dans les mathématiques pures et particulièrement dans l'arithmétique et dans la géométrie, doivent avoir des principes dont la preuve ne dépende point des exemples, ni par conséquent du témoignage des sens, quoique sans les sens on ne serait jamais avisé d'y penser"

G. W. LEIBNIZ (1646 - 1716). Nouveaux essais sur l'entendement humain. Préface7 .

SOCRATE ne saurait se contenter de tracer des figures sur le sable.

 

- 2. Les principes de la pensée. Pour démontrer, la pensée suit des principes qui sont plutôt constitutives de la pensée.

A. Le principe d'identité : "a est a".

B. Le principe de contradiction : "a n'est pas non a".

"Le principe de contradiction signifie que : deux contradictoires ne peuvent être vraies ensemble. Autrement dit, si l'on affirme une proposition, on ne peut, en même temps, la nier"8 .

"(...) il est impossible que le même attribut appartienne et n'appartienne pas en même temps, au même sujet et sous le même rapport (...)"

ARISTOTE (384 - 322). Métaphysique. G, 39 .

C. Le principe du tiers exclu :

"Il n'y a pas de milieu (ou de troisième ou tiers) entre a et non a' . Deux contradictoires ne peuvent être fausses ensemble"10 .

Exemple : il n'y a pas de tiers entre ces deus propositions : "Tous les hommes sont mortels" et : "Quelques hommes ne sont pas mortels".

 

- 3. Des principes. Il s'agit de principes :

"(...) les principes généraux entrent dans nos pensées, dont ils font l'âme et la liaison. Ils y sont nécessaires comme les muscles et les tendons le sont pour marcher, quoiqu'on n'y pense point"

LEIBNIZ. Nouveaux essais sur l'entendement humain. Livre I, Chapitre 1, § 2011 .

Commentaire :

1. les principes ne sont pas extérieurs à la pensée.

2. ils assurent la cohésion et la cohérence des pensées.

3. ils permettent la progression de la pensée.

4. leur usage ne suppose pas la conscience.

 

 


C. Les conséquences.

 

1. Quel est le statut des principes de la démonstration ?

 

Les premiers principes d'une démonstration sont soit des axiomes soit des postulats. Un axiome est une proposition qui, est de soi évidente ; le postulat est une une proposition que le maître demande à l'élève d'accepter (postulare : demander12 ).

 

- 1. La notion d'axiomatique. L'axiomatisation est un procédé d'exposition d'une théorie déductive qui consiste à placer en tête :

A. La définition des termes premiers à l'aide desquels seront formées les propositions premières qui resteront de ce fait non démontrées. On appelle axiomes ces propositions non démontrées dans le système.

B. Les règles de formation des propositions de la théorie.

C. Les règles opératoires qui permettront de dériver les propositions démontrées de la théorie. On appelle théorèmes les propositions démontrées dans un système.

 

Rm. Les axiomes doivent être indépendants, consistants et saturés. Consistants, deux théorèmes contradictoires ne doivent pas pouvoir être démontrés dans une axiomatique. Indépendants, nul axiome ne doit être déduits ni être déductibles d'un autre axiome. Le système doit être saturé : tout autre axiome s'il était ajouté au système le rendrait inconsistant.

 

- 2. Un exemple. Les Eléments d'EUCLIDE (IIIème siècle avant J. C.) propose le premier exemple d'une axiomatique non formalisée13.

A. Les définitions : "Le point est ce qui n'a pas de parties" ; "La ligne est une longueur sans largeur".

B. Les postulats . Ils sont au nombre de cinq : I. Mener une ligne droite entre deux points ; II. Prolonger indéfiniment une droite limitée ; III. Décrire un cercle de centre donné et de rayon donné ; IV. Tous les angles droits sont égaux entre eux. Et le fameux cinquième postulat.

C. Les axiomes. Ils sont au nombre de huit : I. Les choses égales à une même chose sont égales entre elles ; V. Les doubles des choses égales sont égaux ; VI. Les moitiés des choses égales sont égales ; VIII. Le tout est plus grand que la partie.

 

- 3. Les géométries non euclidiennes. LOBATCHEVSKI (1793 - 1856) cherche à démontrer que le cinquième postulat d'EUCLIDE est démontrable et qu'il est en réalité un théorème.

A. LOBATCHEVSKI entreprend une démonstration par l'absurde : il le nie et il admet les autres axiomes d'EUCLIDE.

B. Il admet que par un point extérieur à une droite, il est possible de mener plusieurs parallèles.

C. Aucune contradiction ne s'ensuit : c'est la première géométrie dite non euclidienne.

 

Rm 1. RIEMANN (1826 - 1866) supposera que par un point extérieur à une droite il est possible de mener zéro parallèle.

Rm 2. L'attitude du physicien Henri POINCARE consistera à maintenir l'équivalence des deux géométries à l'aide de "dictionnaires"14 , - mais la géométrie d'EUCLIDE lui paraît plus simple et plus en accord avec notre intuition immédiate :

"Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu'une autre ; elle peut seulement être plus commode"

H. POINCARE (1854 - 1912). La science et l'hypothèse. Chapitre III15.

 

2. La démonstration est - elle le seul moyen d'accéder à la vérité ?

 

- 1. Faut - il exiger une démonstration de tout ?

"(...) il est absolument impossible de tout démontrer : on irait ainsi à l'infini, de telle sorte que, même ainsi, il n'y aurait pas de démonstration"

ARISTOTE. Métaphysique. G, 416 .

 

- 2. La connaissance par le coeur. PASCAL nomme coeur le principe le plus intime et le plus intérieur de l'homme.

A. Ce qu'est le coeur.

"Nous connaissons la vérité, non seulement par la raison, mais encore par le coeur ; c'est de cette dernière sorte que nous connaissons les premiers principes (...)"

B. PASCAL. Pensées. B 28217.

B. Les premiers principes de l'arithmétique et de la géométrie se connaîtraient par l'intuition.

Exemple :

"Le coeur sent qu'il y a trois dimensions dans l'espace et que les nombres sont infinis et que les nombres sont infinis ; et la raison démontre ensuite qu'il n'y a point deux nombres carrés dont dont l'un soit double de l'autre"

B. PASCAL. Pensées. B 28218 .

 

 

3. Les premier principes sont ils démontrables ?

 

Dans une démonstration, est - il possible de démontrer la nécessité des termes sur lesquels elle repose ?

 

- 1. Le problème des premiers principes. La science se distingue par sa capacité à démontrer :

"(...) la science est une disposition capable de démontrer (...)"
ARISTOTE. Ethique à Nicomaque. Livre VI, chapitre 3 19.

Or les premiers principes ne se démontrent pas, - sans quoi il y aurait régression à l'infini.

 

- 2. Les solutions.

A. La démonstration par réfutation. Le principe de non contradiction ne se démontre pas, mais on peut réfuter tout ceux qui soutiennent sa fausseté.

"Il est cependant possible d'établir par réfutation l'impossibilité que la même chose soit et ne soit pas, pourvu que l'adversaire dise seulement quelque chose"

ARISTOTE. Métaphysique. G, 420 .

B. La dialectique. PLATON montre la nécessité d'un savoir au - delà du savoir scientifique :

"(...) par la pratique du dialogue, sans recourir à aucun des sens, on s'efforce, au moyen de la pensée, de prendre son élan jusqu'à ce qu'est chaque chose dans son essence propre (...)"

PLATON. République. VI. 532 a.

C. La métaphysique. ARISTOTE nomme métaphysique la science qui permet de démontrer les premiers principes des autres sciences.

"Il y a une science qui étudie l'Etre en tant qu'être et les attributs qui lui appartiennent essentiellement"

ARISTOTE. Métaphysique. G, 121 .

 

 


Conclusion. La science peut - elle se passer de la métaphysique ?

"Ainsi toute la philosophie est comme un arbre, dont les racines sont la métaphysique, le tronc est la physique, et les branches qui sortent de ce tronc,sont toutes les autres sciences, qui se réduisent à trois principales, à savoir la médecine, la mécanique et la morale ; j'entends la plus haute et la plus parfaite morale, qui présupposant une entière connaissance des autres sciences, est le dernier degré de la sagesse"

DESCARTES. Principes de la philosophie. Lettre - Préface22 .

 

La métaphysique est l'achèvement du savoir scientifique ou le fondement de ce dernier.


  1. Cf. PLATON (1950, I), p. 534 - 535.
  2. Cf. KANT (1974), p. 13.
  3. Cf. DESCARTES (1953), p. 43 - 44.
  4. Cf. PASCAL (1976), p. 158.
  5. Cf. DESCARTES (1963), p. 138.
  6. Cf. DESCARTES (1953), p. 44.
  7. Cf. LEIBNIZ (1966), p. 35.
  8. Cf. MOUY (1944), p. 29.
  9. Cf. ARISTOTE (1981, I), p. 195.
  10. Cf. MOUY (1944), p. 29.
  11. Cf. LEIBNIZ (1966), p. 68.
  12. Cf. ROBERT. Dictionnaire alphabétique & analogique de la langue française.
  13. Cf. sur ce qui suit L. GODEAUX. Les géométries. in BARTHOLY, DESPIN, GRANDPIERRE (1978), p. 274 - 275.
  14. Cf. POINCARE (1968), p. 68 - 69.
  15. Cf. POINCARE (1968), p. 76.
  16. Cf. ARISTOTE (1981, I), p. 197.
  17. Cf. PASCAL (1976), p. 128.
  18. Cf. PASCAL (1976), p. 128.
  19. Cf. ARISTOTE (1983), p. 282.
  20. Cf. ARISTOTE (1981, I), p. 198.
  21. Cf. ARISTOTE (1981, I), p. 171.
  22. Cf. DESCARTES (1973), p. 779 - 780.


Sommaire. Cours | Bibliographie générale